Теорема о независимости мат.ожидания финансового результата опционного портфеля от параметров рехеджирования

Суть теоремы в самом названии, а именно: для любого опционного портфеля совершенно не важно, как вы будете его рехеджировать — мат.ожидание фин.результата не зависит от параметров его рехеджирования. Другими словами, неважно, как и когда вы будете рехеджировать опционный портфель – его прогнозная эффективность остается одной и той же.

Раз я обозвал это теоремой, значит ее можно доказать.

Доказательство:

Предположим, у нас есть два одинаковых опционных портфеля, совмещенных с разными по параметрам способами их рехеджирования. Пусть портфели А и B одинаковы в опционной части (совершенно неважно, какие конкретно), и пусть к портфелю А прицеплен рехеджирующий механизм с такими параметрами, что мат.ожидание его итогового P/L больше, чем мат.ожидание итогового P/L портфеля B. Причем абстракция, являющаяся основой механизма рехеджирования, может быть абсолютно любой. Теперь перевернем портфель В по знакам позиций и сделок и сложим полученное с портфелем А.

В новом суммарном портфеле их опционные составляющие занулят друг друга (опционные части идентичны), и в итоговом портфеле останутся только рехеджирующие механизмы А и В. А так как изначально мы предположили, что мат.ожидание P/L от рехеджирования портфеля А было выше, чем мат.ожидание P/L от рехеджирования портфеля В, то итоговое мат.ожидание P/L итогового портфеля, являющееся разницей между А и В, будет положительным, а это противоречит аксиоме о невозможности независимой от рынка прибыльной торговой системы, сформулированной ранее.

В обратном случае, когда рехеджирующий механизм у портфеля А менее эффективен, чем у портфеля В, нам нужно будет «перевернуть» знаки уже портфеля А. Опять получим зануленные опционные составляющие и снова прибыльную торговую систему с независимыми от рынка параметрами, что снова противоречит вышеописанной аксиоме.

Таким образом, любое отличие мат.ожиданий P/L рехеджирующих механизмов приводит к противоречию аксиоме о невозможности независимой от рынка прибыльной торговой системы. Теорема доказана.

Конечно, в реальности разные способы рехеджирования по факту дадут разные результаты, но это будет просто реализацией разных вероятностных распределений с одинаковыми мат.ожиданиями. Про другие же, кроме мат.ожидания, характеристики этих распределений мы пока ничего не знаем.

И да, отсутствие какого-либо рехеджирования опционного портфеля, очевидно, является частным случаем механизма рехеджирования, а именно, рехеджированием с нулевой частотой. Представление опционных трейдеров о том, что не рехеджируя портфель они потерь от этого процесса не несут (в отличие от тех, кто такое регулярное рехеджирование осуществляет), неверное по сути, это когнитивная ошибка.

Автор статьи: Алексей Всемирнов