Теорема о независимости мат-ожидания финансового результата опционного портфеля от параметров рехеджирования

Суть теоремы в самом названии, а именно: для любого опционного портфеля совершенно неважно как вы будете его рехеджировать — мат-ожидание фин-результата не зависит от параметров его рехеджирования. Другими словами, неважно, как и когда вы будете рехеджировать опционный портфель – его прогнозная эффективность остается одной и той же.

Раз я обозвал это теоремой, значит ее можно доказать.

Доказательство:

Предположим у нас есть два одинаковых опционных портфеля совмещенных с разными по параметрам способами их рехеджирования. Пусть портфели А и B одинаковы в опционной части (совершенно неважно, какие конкретно), и пусть к портфелю А прицеплен рехеджирующий механизм с такими параметрами, что мат-ожидание его итогового P/L больше, чем мат-ожидание итогового P/L портфеля B. Причем абстракция, являющаяся основой механизма рехеджирования может быть абсолютно любой. Теперь перевернем портфель В по знакам позиций и сделок и сложим полученное с портфелем А.

В новом суммарном портфеле их опционные составляющие занулят друг друга (опционные части идентичны), и в итоговом портфеле останутся только рехеджирующие механизмы А и В. А так, как изначально мы предположили, что мат-ожидание P/L от рехеджирования портфеля А было выше, чем мат-ожидание P/L от рехеджирования портфеля В, то итоговое мат-ожидание P/L итогового портфеля, являющееся разницей между А и В, будет положительным, а это противоречит аксиоме о невозможности независимой от рынка прибыльной торговой системы, сформулированной ранее.

В обратном случае, когда рехеджирующий механизм у портфеля А менее эффективен, чем у портфеля В, нам нужно будет «перевернуть» знаки уже портфеля А, опять получим зануленные опционные составляющие и снова прибыльную торговую систему с независимыми от рынка параметрами, что снова противоречит вышеописанной аксиоме.

Таким образом, любое отличие мат-ожиданий P/L рехеджирующих механизмов приводит к противоречию аксиоме о невозможности независимой от рынка прибыльной торговой системы. Теорема доказана.

Конечно, в реальности разные способы рехеджирования по факту дадут разные результаты, но это будет просто реализацией разных вероятностных распределений с одинаковыми мат-ожиданиями. Про другие же кроме мат-ожидания характеристики этих распределений мы пока ничего не знаем.

И да, отсутствие какого-либо рехеджирования опционного портфеля, очевидно, является частным случаем механизма рехеджирования, а именно, рехеджированием с нулевой частотой. Представление опционных трейдеров о том, что не рехеджируя портфель они потерь от этого процесса не несут (в отличие от тех, кто такое регулярное рехеджирование осуществляет), неверное по сути, это когнитивная ошибка.

Автор статьи Алексей Всемирнов